Для облегчения понимания:

Понятие TTL
Представьте себе, что вам 5 лет и вы хотите кушать. Вы идете к папе и говорите: «Папа, я хочу кушать». Ваш папа смотрит телевизор, согласно таблице маршрутизации о посылает вас к маме. Вы идете к ней и просите «Мамааа, я хочу кушать». Мама болтает с подругой по телефону и согласно своей таблице маршрутизации посылает вас к папе. И так вы ходите как дурак от папы к маме и обратно, туда-сюда, туда-сюда, а все потому что криворукие админы (родители папы и мамы) неправильно настроили таблицу маршрутизации. Чтобы защититься от таких ситуаций придумали понятие TTL (Time To Live), что применительно к нашей ситуации означает количество терпения у мальчика, пока он не скажет «***о» и не упадет перед ногами мамы или папы в беспомощном состоянии. Последний, по правилам (стандарты – это «так заведено в семье»), обязан послать короткий нелестный отзыв адрес того, кто послал мальчика кушать. Это так называемый icmp-пакет «мальчик издох»

DHCP
Вы проснулись после дикой пьянки. Первые ваши слова «кто я?» и «где я?». Сосед, который не запивал водку пивом, вам сообщает все ваши параметры: кто вы и где. Этот сосед выступает в роли DHCP-сервера. Учтите, что в сети могут быть так называемые «ложные DHCP-сервера», например жена – на ваш вопрос «кто я?» она выдаст неверную информацию: «алкоголик ты проклятый». Так что не всегда динамическая выдача параметров безопасна, рекомендуется записывать свои параметры (как зовут, ваш адрес и т.д.) на бумажке.

Маршрут по умолчанию
Подойтите к прохожему и спросите «не подскажите ли вы как пройти к моргу имени Невмировича-Данченко?». С большой долей вероятности вас пошлют на...й. Так вот это и есть маршрут по умолчанию, другими словами если адрес назначения не известен, то пакеты посылаются на маршрут по умолчанию (синонимы: шлюз по умолчанию, dafault gateway).

Ping
Вы конечно бывали в ситуации «сам дурак». Вы кричите «Петя ты, е..лан», а в ответ слышите «Вася, сам е..лан». Это простеший пинг. Вы только что пропинговали Васю. Не все отвечают на пинги, особо культурные, например Microsoft.com не утруждают себя реагированием на ваши запросы. С такими переругиваться бесполезно, мы знаем, что они слышат и злятся, но реакции добиться не можем. Тем не менее, пинг – неплохой способ узнать жив ли хост, ведь пиная труп ногами не добьешься реакции «сам дурак»

Traceroute
Представь себе, что ты живешь на 9м этаже и хочешь узнать всех жильцов которые живут от тебя до Клавки с 3го. Ты берешь взрывпакет и, исходя из формулы свободного падения, рассчитываешь время взрыва пакета над 8м этажом. Это TTL=1.
После того как пакет ипанет — выглянет озверевшая рожа соседа с 8го этажа. Время реакции зависит от загруженности сервера, т.е. от занятости соседа и от шейпов, т.е. в воздухе ли ваша система или ты живешь на планете, где атмосфера жидкий азот. Так вот, если вообще не дождешься ответа — твой сосед глухой — у него запрещены icmp ответы, либо он запретил их только для тебя если его уже подзае...ли твои финты и он научился тебя игнорировать. Дальше выставляешь TTL=2 и т.д. Не забывай, что если Клавка живет выше тебя – это No route to host.